Limit 1

Bilangan apakah yang dekat dengan 1?. Jika pertanyaan ini disampaikan ke siswa, mungkin jawabnya beragam. Ada yang menjawab 7/8, 24/25, 0,99 atau yang lainnya. Bahkan mungkin ada siswa yang menjawab 0,999 ... dengan angka 9 nya sebanyak seribu. Kalau dijawab demikian, kita bisa menanyakan kembali, bagaimana kalau angka 9 nya sebanyak dua ribu?. Mana yang lebih mendekati 1?. Kebanyakan mulai siswa berpikir ulang.

Ini akan memancing perdebatan seru di kelas. Siswa akan berlomba-lomba menemukan bilangan dengan angka 9 di belakang koma sebanyak-banyaknya. Mungkin ada yang menjawab satu juta, seratus juta, sejuta – juta. Bisa jadi ada yang menjawab satu trilun, seribu trilyun, trilyun – trilyun. Dan seterusnya. Sampai siswa kehabisan kata-kata. Karena umumnya hanya mengenal hingga trilyunan saja.

Sebanyak apapun angka 9 di belakang koma tadi, tidak akan pernah sama dengan 1. Hanya mendekati 1. Tetapi jika banyak angka 9 tadi tak berhingga, maka bilangan itu menjadi aneh, karena bukan lagi mendekati 1 tetapi malah sama dengan 1. Aneh bukan? Berikut ini buktinya.

Bukti 1

                1/3         =             0,33333 ...

                2/3         =             0,66666 ...

      1/3 + 2/3          =             0,99999 ...

              1              =             0,99999 ...

Bukti 2

                1/9         =             0,11111 ...

        9 x 1/9           =             9 x 0,11111 ...

                1            =             0,99999 ...

Bukti 3

  0,99999 ...            =             0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + ...

Bagian kanan itu sama dengan deret tak berhingga dengan suku awal 0,9 dan beda 0,1. Dengan menggunakan rumus tak deret tak hingga diperoleh :

  0,99999 ...             =             a/ (1-r)

                                =             0,9 / (1 – 0,1)

                                =             0,9 / 0,9

                                =             1